Современные проблемы интеллектуальных систем. Республиканская научно-практическая конференция. Джизак, 18-19 апреля 2025 г.
237
IKKINCHI TARTIBLI SINGULYAR DIFFERENSIAL TENGLAMA UCHUN
CHEGARAVIY MASALANING CHEBISHEV POLINOMLARI BILAN YECHIMINI
SPEKTRAL USULDA O ‘RGANISH
Uzakbaev Jangeldi Sabitovich
TATUNF 2-kurs
magistranti
Annotatsiya:
Ushbu maqolada ikkinchi tartibli singulyar differensial tenglama uchun
chegaraviy masalaning Chebishev polinomlari yordamida spektral usulda yechimini topish va
tahlil qilish masalasi ko‘rib chiqilgan.
Kalit so‘zlar:
singulyar differensial tenglama, Chebishev polinomlari, spektral usul,
chegaraviy masala, ortogonal polinomlar, rekursiv munosabatlar.
ИЗУЧЕНИЕ РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ СИНГУЛЯРНОГО
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА С ПОМОЩЬЮ
ПОЛИНОМОВ ЧЕБЫШЕВА СПЕКТРАЛЬНЫМ МЕТОДОМ
Аннотация:
В данной статье рассматривается задача нахождения и анализа решения
краевой задачи для сингулярного дифференциального уравнения второго порядка с
использованием спектрального метода на основе полиномов Чебышева.
Ключевые слова:
сингулярное дифференциальное уравнение, полиномы Чебышева,
спектральный метод, краевая задача, ортогональные полиномы, рекурсивные соотношения.
STUDY OF THE SOLUTION OF A BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR A
SECOND-ORDER SINGULAR DIFFERENTIAL EQUATION USING CHEBYSHEV
POLYNOMIALS BY THE SPECTRAL METHOD
Abstract:
This paper examines the problem of finding and analyzing the solution of a
boundary value problem for a second-order singular differential equation using the spectral method
based on Chebyshev polynomials.
Keywords:
singular differential equation, Chebyshev polynomials, spectral method,
boundary value problem, orthogonal polynomials, recursive relations.
Kirish.
Singulyar differensial tenglamalarni yechish usullari zamonaviy matematikaliq
modellashtirishda katta ahamiyatga ega, chunki ular real dunyo muammolarida, masalan, tebranish
jarayonlari yoki issiqlik o‘tkazuvchanligini modellashtirishda uchraydi. Chebishev polinomlari
yordamida spektral usulni qo‘llash yechimning aniqligini oshiradi va hisoblash xarajatlarini
kamaytiradi.
Ikkinchi tartibli singulyar differensial tenglamalar matematika va fizikaning ko‘p sohalarda,
masalan, approksimatsiya nazariyasi, mexanika va signalni qayta ishlashda muhim rol o‘ynaydi.
Ushbu tenglamalarni yechishda Chebishev polinomlari ortogonal xususiyatlari tufayli samarali
vosita sifatida qo‘llaniladi. Mazkur ishda
[-1, 1]
intervalida chegaraviy shartlarni
qanoatlantiradigan ikkinchi tartibli differensial tenglamaning spektral usul yordamida yechimini
o‘rganish maqsad qilingan[1].
Masalaning qo‘yilishi. Chebishev polinomlari bilan bog‘liq bo‘lgan differensial
tenglamani ko‘rib chiqaylik:
(1 − 𝑥2)𝑦′′ − 𝑥𝑦′ + 𝜆𝑦 = 0, − 1 < 𝑥 < 1,
Современные проблемы интеллектуальных систем. Республиканская научно-практическая конференция. Джизак, 18-19 апреля 2025 г.
238
bu yerda
𝑦 = 𝑦(𝑥)
— izlanayotgan funksiya,
𝑦
′′
=
𝑑
2
𝑥
𝑑𝑥
2
— ikkinchi hosila,
𝑦
′
=
𝑑𝑥
𝑑𝑦
—
birinchi hosila, λ esa yechimning xarakterini belgilaydigan parametrdir. Belgilangan soha ochiq
interval sifatida -1 < x < 1 shaklida berilgan.
Ushbu tenglamaga chegarа shartlari qo‘yiladi, ya’ni y(x) funksiyasi interval chegaralariga
yaqinlashganda, ya’ni
𝑥 → −1
va
𝑥 → 1
da cheklangan bo‘lishi talab qilinadi.
Tenglamani tahlil qilish va yechish usulini tanlash.
Ushbu tenglama o‘zgaruvchan
koeffitsientlarga ega bo‘lgan ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamadir.
𝑦′′
oldidagi
koeffitsient
1 − 𝑥
2
bo‘lib,
u
𝑥 = ± 1
da nolga aylanadi, bu esa ushbu nuqtalarni maxsus
(singulyar) nuqtalar qiladi. O‘zgaruvchan koeffitsientlar tufayli doimiy koeffitsientli tenglamalar
uchun xos bo‘lgan standart usullar qo‘llanilmaydi. Buning o‘rniga yechimni darajali qator shaklida
izlash mantiqiy[2].
Yechimni darajali qator shaklida izlash.
Yechim quyidagi shaklda bo‘lishini faraz
qilamiz:
𝑦(𝑥) = ∑ 𝑎
𝑘
𝑥
𝑘
∞
𝑘=0
,
bu yerda
𝑎
𝑘
— qator koeffitsientlari. Tenglama bilan ishlash uchun ushbu qatorning
hosilalarini hisoblaymiz:
𝑦′(𝑥) = ∑ 𝑘𝑎
𝑘
𝑥
𝑘−1
∞
𝑘=1
,
𝑦′′(𝑥) = ∑ 𝑘(𝑘 − 1)𝑎
𝑘
𝑥
𝑘−2
∞
𝑘=2
,
Ushbu ifodalarni asl tenglamaga qo‘yib:
(1 − 𝑥
2
) ∑ 𝑘(𝑘 − 1)𝑎
𝑘
𝑥
𝑘−2
∞
𝑘=2
− 𝑥 ∑ 𝑘𝑎
𝑘
𝑥
𝑘−1
∞
𝑘=1
+ λ ∑ 𝑎
𝑘
𝑥
𝑘
∞
𝑘=0
= 0
Ayrim algebraik amallardan so‘ng va x ning darajalariga ko‘ra taqqoslash natijasida
quyidagi rekurrent munosabatga kelamiz:
𝑎
𝑘+2
=
𝑘
2
− 𝜆
(𝑘 + 1)(𝑘 + 2)
𝑎
𝑘
𝑘 = 0, 1, 2 …
Polinomial yechimlarni aniqlash va Chebishev polinomlari bilan bog‘liqligi.
Yechim
polinom bo‘lishi uchun qator uzilishi kerak, ya’ni
𝑎
k+2
=
0 bo‘lishi kerak. Bu holat quyidagi
shartda sodir bo‘ladi:
𝑘
2
– 𝜆 = 0,
𝜆 = 𝑘
2
.
Chunki
k
butun manfiy bo‘lmagan son
(𝑘 = 0, 1, 2, … ), 𝜆 = 𝑛
2
deb belgilaymiz, bu yerda
n
biror butun son. Shunda
k = n
bo‘lganda
𝑎
𝑛 + 2
= 0
bo‘ladi va undan keyingi barcha
koeffitsientlar ham nolga aylanadi. Bu qatorning uzilishini,
y(x)
esa
n
darajali polinomga
aylanishini anglatadi.
Chebishev polinomlari bilan bog‘liqlikni aniq ko‘rish uchun
n
ning bir nechta qiymatlarini
ko‘rib chiqamiz. Birinchi turdagi Chebishev polinomlari
T
n
(x)
rekurrent tarzda belgilanadi:
𝑇
0
(𝑥) = 1, 𝑇
1
(𝑥) = 𝑥,
𝑇
𝑛+2
(𝑥) = 2𝑥𝑇
𝑛+1
(𝑥) − 𝑇
𝑛
(𝑥),
va
𝜆 = 𝑛
2
da Chebishev tenglamasini qanoatlantiradi.
Misollar:
λ = 0 (n = 0) uchun:
𝑎
2
= −
0∙𝑎
0
2
= 0, 𝑎
4
= 0, 𝑎
6
= 0, …,
Современные проблемы интеллектуальных систем. Республиканская научно-практическая конференция. Джизак, 18-19 апреля 2025 г.
239
𝑦(𝑥) = 𝑎
0
.
bu T
0
(x) = 1 ga doimiygacha mos keladi.
λ = 1 (n = 1) uchun
𝑎
2
= −
1∙𝑎
0
2
= 0, 𝑎
3
−
(1−1)∙𝑎
1
6
= 0, 𝑎
4
= 0, …,
va boshlang‘ich shartlarga ko‘ra
𝑎
0
= 0, 𝑎
1
= 1
tanlansa,
y(x) = x
bo‘ladi, bu
𝑇
𝑛
(𝑥)
ga mos
keladi.
Chebishev polinomlari
𝑇
𝑛
(𝑥) [−1, 1]
da belgilangan va polinom bo‘lgani uchun cheklangan.
Ularning chegaradagi qiymatlari:
𝑇
𝑛
(1) = 1, 𝑇
𝑛
(−1) = (−1)
𝑛
,
bu chekli qiymatlar bo‘lib,
𝑥 → ± 1
da cheklanganlik talabini qanoatlantiradi.
Natijalar.
Darajali qator usuli masalani koeffitsientlarni belgilovchi rekurrent bog‘lanishga
keltirib chiqardi.
𝜆 = 𝑛
2
da qatorning uzilishi sharti polinomial yechimlar faqat diskret
𝜆
qiymatlari uchun paydo bo‘lishini ko‘rsatdi va bu yechimlar birinchi turdagi Chebishev
polinomlari ekanligini aniqladi.
Yechimning yakuniy natijasi:
𝜆 = 𝑛
2
uchun, bu yerda
n = 0, 1, 2,...,
chegarа shartlarini
hisobga olgan holda differensial tenglamaning umumiy yechimi quyidagicha yoziladi:
𝑦(𝑥) = 𝑐
1
𝑇
𝑛
(𝑥),
bu yerda
𝑐
1
ixtiyoriy doimiy,
𝑇
𝑛
(𝑥)
esa
n
darajali birinchi turdagi Chebishev polinomidir.
Adabiyotlar ro‘yxati
1.Abramowitz, M., Stegun, I. A. Handbook of Mathematical Functions with Formulas,
Graphs, and Mathematical Tables. Dover Publications, New York. 1964.
2.Boyd, J. P. Chebyshev and Fourier Spectral Methods. Dover Publications, Mineola, NY.
2001.
3.Trefethen, L. N. Spectral Methods in MATLAB. Society for Industrial and Applied
Mathematics, Philadelphia. 2000.
4.Canuto, C., Hussaini, M. Y., Quarteroni, A., Zang, T. A. “Spectral Methods: Fundamentals
in Single Domains”. Springer, 2006.
МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ
СКОРОСТИ ВЕТРА В АТМОСФЕРЕ
Эшбоева Нодира Фахриддиновна
базовый докторант НИИ развития цифровых технологий и искусственного нтеллекта
Аннотация.
В работе представлено численное моделирование трехмерного поля
скорости ветра в атмосфере на основе уравнений Навье–Стокса. Разработан устойчивый
алгоритм решения задачи гидродинамики с использованием неявной разностной схемы и
аппроксимации высокого порядка. Модель учитывает пространственно-временную
изменчивость скорости воздушных масс в направлениях u, v и w, что позволяет более точно
описывать процессы переноса загрязняющих веществ в атмосфере.
Ключевые слова:
модель, скорости, направления ветра, уравнения Навье-Стокса,
метод конечно-разностных, аппроксимация.
MODELING THE SPATIAL DISTRIBUTION OF WIND SPEED IN THE
ATMOSPHERE
